Naučna oblast:  Matematička statistika, Slučajni procesi , Itoovi procesi,  finansijska matematika

Mentor:  Prof. Dr Milan Merkle

Definisanje problema. Itoovi (Itô) procesi su rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina  difuzionog tipa, kod kojih je stohastička komponenta bazirana na procesu Braunovog kretanja. Ovi procesi imaju mnogobrojne primene u raznim oblastima, a u novije vreme posebno je u literaturi dominantna primena u modeliranju  cena finansijskih instrumenata (predmeta trgovine na finansijskim tržištima).  Koeficijent kojim se množi diferencijal Braunovog kretanja u modelu Itoovog procesa u primenama se naziva volatilnost,  i interpretira se kao mera  neizvesnosti, odnosno rizika u kontekstu primene u finansijama. U zavisnosti od modela, volatilnost može biti konstanta, funkcija koja zavisi od vrednosti procesa, ili funkcija koja zavisi od dodatnih izvora slučajnosti (tzv. stohastička volatilnost). U pionirskim radovima Fischer Black, Myron Scholes i Robert Merton su izveli tada revolucionarnu formulu za odredjivanje cene opcija pretpostavljajuci konstantnu volatilnost ( Merton i Scholes su za to dobili Nobelovu nagradu 1997 godine) i postavili osnovu za odredjivanje cena finansijskih derivata (Blek-Šolsova-BS formula). Iako veoma značajan, model je baziran na konstantnoj volatilnosti, što je posle berzanskog kolapsa 1978. godine  postala pretpostavka koja nije podržana stvarnim podacima.  Steven Heston je svojim radom iz 1993. godine prezentovao model koji ispravlja određene nedostatke BS formule i daje mnogo bolje rezultate u praktičnim primenama. Prvu stvar koju je ovaj model korigovao bilo je uvodjenje stohastičke volatilnosti u formulu, za razliku od konstantne koja je iskorišćena pri izvođenju BS formule. U ovom modelu raspodela prinosa nije  log-normalna,  i asimetrična je oko srednje vrednosti.  Hestonov model se može posmatrati i kao nelinearni Kalmanov filter.

Sadržaj i cilj rada. U ovom radu biće prezentovan Black-Scholes-ov i Heston-ov model, kao i teorija finansijske matematike i stohastičkog računa potrebna za razumevanje ovog rada. Posle detaljnog izvođenja i opisa Heston-ovog modela, simulacijom implicirane volatilnosti će se ispitati efikasnost ovog modela u praksi putem raspoloživih podataka primenjenih na aproksimativni analitički izraz Heston-ovog modela, Monte Carlo simulacije, kao i poređenjem dobijenih rezultata za pomenuta dva modela.

Doprinos rada.  Ovaj rad daje jasan i koncizan pregled jednog, relativno novog modela, njegove prednosti i mane, kao i prezentovanje praktične primene i njene efikasnosti.

Naučna oblast:  Matematička statistika, Slučajni procesi, stohastičke diferencijalne jednačine

Mentor:  Prof. Dr Milan Merkle

Definisanje problema. Stohastičke diferencijalne jednačine difuzionog tipa bazirane na Vinerovom procesu (Braunovom kretanju) su standardni modeli u finansijskoj matematici i njima se opisuju i kretanja kamatnih stopa. S obzirom na ekonomske  zakonitosti, svi modeli kamatnih stopa imaju osobinu rekurentnosti, odnosno vraćanja na stanje u okolini početnog.   Rekurentnost je inherentna osobina Braunovog kretanja u jednoj ili dve dimenzije, i tu su poznati analitički izrazi za raspodelu verovatnoća vremena povratka. U većini modela kamatnih stopa, iako se zna da su rešenja odgovarajućih diferencijalnih jednačina rekurentna, nije poznata raspodela vremena povratka, i u literaturi nema podataka o njihovim karakteristikama, na primer, da li je matematičko očekivanje vremena povratka konačno. Odgovori na ova pitanja  mogu se dobiti Monte Carlo simulacijom.

Sadržaj i cilj rada. U radu će biti predstavljeni osnovi teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina,

i pregled relevantnih modela kamatnih stopa. Simulacijom na diskretizovanom modelu, ustanoviće se

osobine vremena povratka, daće se ocene matematičkog očekivanja, varijanse,  medijane i kvantila u zavisnosti od parametara modela. Rezultati dobijeni simulacijom uporediće se sa stvarnim podacima.

Doprinos rada.  U radu će biti dat pregled teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina sa posebnim osvrtom  na modele kamatnih stopa.  Rezultati simulacije mogu biti od šireg interesa kao dopuna postojećoj literaturi.